간단한 levi-civita 의 성질 증명법

자, Levi-civita 의 위와 같은 성질을 증명해보는 시간을 갖도록 하자.

증명에 앞서 우리는 우선 levi-civita 가 무엇인지 간단히 되짚어 보기로 한다.

이 증명에서 쓰일 기법은 약간의 선형대수학의 정리들을 사용한다.

우선 levi-civita 는 순열기호로서 우리가 모두 알고이는바와 같이

이런 성질을 가지고 있다.

위 성질은 크로네커 델타를 이용해서아래와 같이 나타낼수 있다.

 

즉 1,2,3 인 경우에는 첫번째 항만 살아남고, 1,3,2 인 경우에는 -1인 두번쨰 항이,

나머지항들도 그와 같은 식으로 살려주는거다.

그런데 생각해보면 행렬의 determinant 역시 alternating linear form 으로써 디터미넌트의 정의와

굉장히 유사한 면이 있따는 것을 알수있다.

그렇다면 Levi-civita 기호를 디터미넌트를 사용해 나타낼수 있지 않을까?

디터미넌트를 사용해서 levi-civita 를 나타내면 위와 같이 된다.

직접 전개해보면 맞다는것을 확인할수 있다.

자, 그럼 우리가 증명에 필요한 것은 levi-civita 가 두개 붙은 것을 증명할 것이므로

라는 또하나의 levi-civita 를 정의하도록 하자.

그런데 우리는 모두 선형대수하앜 을 배웠기 때문에 다음과 같은 정리를 알고있다.

자, 그럼 여기서 행렬 A와 B를 우선 정의하고 시작하도록 하자.

     

행렬 A와 B는 간단히 위의 levi-civita 의 디터미넌트를 가지는 행렬인데, B 행렬을 보면

약간 lmn의 levi-civita 와는 약간 다르게 행렬이 정의된것을 볼수있다.

별건 아니고 단순히 위의 lmn 의 levi-civita 에서 

transpose 된 행렬인데 어짜피 transpose 된 행렬의 디터미넌트도 같기 때문에 

저렇게 정의해도 상관은 없다.

굳이 왜 transpose 행렬을 취하나면...  그냥 일종의 증명상의 꼼수다

이제 우리가 해야될 계산은

이고 이를 위해서는 두 행렬의 곱 AB를 계산하여야 한다.

두 행렬의 곱을 계산한것중 우선 첫번째 행만 계산해 놓았다.

그런데 위 식을 자세히 살펴보자.

우선 1행 1열의 성분을 보면

인 것을 이끌어낼수 있다.

왜냐하면 위의 크로네커 델타의 합에서 0이 아닌 결과가 나오기 위해서는

i=l=1 이거나 i=l=2 이거나 i=l=3 이여야 한다. 

그 외에 나머지 경우는 무조건 0이 나오게 된다. 

그러므로 i=l이 같은 경우를 제외하고는 전부 0이 나오므로 우리는 위 식을 단순히

i와 l의 크로네커 델타로 놓을수 있는 것이다.

이와 같은 과정을 거치면 행렬 AB의 곱은 단순하게

이와 같은 결과가 되어버린다.

그런데 우리가 구하려고 헀던 것은

가 아니라 여기서 i와 l이 같은 경우, 즉

이었다. 

그런데 이 부분에서 

즉, i 는 j,k,m,n과는 모두 다르다. 왜냐면 같다면 levi-civita 의 성질에 의해서 단순히 0이 되버리기 때문이다.

자, 그러면 우리가 위에서 구한 행렬 AB의 곱은

와 같이 된다.

결국 우리가 처음에 증명하려고 했던 두 levi-civita 의 곱은

와 같인 정리되는 것이다.

이와 같이 행렬의 성질을 사용하면 증명을 쉽게 할수있다.

그리고 이러한 levi-civita의 성질을 이용하면 

http://ssse.tistory.com/7 이 글에 있는 벡터 공식도 간단히 증명할수가 있다.

뭐 중간중간 오타가 있을수도 있지만 전체적인 증명의 방향은 이러하니 

보고 참고할 사람은 참고하면 도움이 될것이다.

사실 이렇게 설명하는 것보다 텐서의 개념을 써서 설명하는 방법이 조금더 일반적이고(n차원까지) 쉽기는한데 

뭐 텐서를 안들어본 사람도 많을테니 이정도 증명이면 충분하지 싶다.

툴리오 레비치비타!